多元线性回归分析预测法-经济百科

多元线性回归分析预测法（MultifaCTOrlineregressionmethod，多元线性回归分析法）

一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元线性回归。

设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：

其中，b₀为常数项，为回归系数，b₁为固定时，x₁每增加一个单位对y的效应，即x₁对y的偏回归系数；同理b₂为x₁,x_k固定时，x₂每增加一个单位对y的效应，即，x₂对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x₁,x₂同一个因变量y呈线性相关时，可用二元线性回归模型描述为：

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+e

建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：

(1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关；

(2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；

(3)自变量之间具有一定的互斥性，即自变量之间的相关程度不应高于自变量与因变量之间的相关程度；

(4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。

多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为：

解此方程可求得b₀,b₁,b₂的数值。亦可用下列矩阵法求得

即

多元线性回归模型的检验

多元性回归模型与一元线性回归模型一样，在得到参数的最小二乘法的估计值之后，也需要进行必要的检验与评价，以决定模型是否可以应用。

1、拟合程度的测定。

与一元线性回归中可决系数r

其中，

2.估计标准误差

估计标准误差，即因变量y的实际值与回归方程求出的估计值之间的标准误差，估计标准误差越小，回归方程拟合程度越强。

其中，k为多元线性回归方程中的自变量的个数。

3.回归方程的显著性检验

回归方程的显著性检验，即检验整个回归方程的显著性，或者说评价所有自变量与因变量的线性关系是否密切。常采用F检验，F统计量的计算公式为：

根据给定的显著水平a，自由度(k,n-k-1)查F分布表，得到相应的临界值F_a，若F>F_a，则回归方程具有显著意义，回归效果显著；F<F_a，则回归方程无显著意义，回归效果不显著。

4.回归系数的显著性检验

在一元线性回归中，回归系数显著性检验(T检验)与回归方程的显著性检验(F检验)是等价的，但在多元线性回归中，这个等价不成立。t检验是分别检验回归模型中各个回归系数是否具有显著性，以便使模型中只保留那些对因变量有显著影响的因素。检验时先计算统计量t_i；然后根据给定的显著水平a，自由度n-k-1查t分布表，得临界值t_a或t_a/2,t>t?a或t_a/2，则回归系数b_i与0有显著差异，反之，则与0无显著差异。统计量t的计算公式为：

其中，C_ij是多元线性回归方程中求解回归系数矩阵的逆矩阵(x'x)

其中，

5.多重共线性判别

若某个回归系数的t检验通不过，可能是这个系数相对应的自变量对因变量的影响不显著所致，此时，应从回归模型中剔除这个自变量，重新建立更为简单的回归模型或更换自变量。也可能是自变量之间有共线性所致，此时应设法降低共线性的影响。

多重共线性是指在多元线性回归方程中，自变量之间有较强的线性关系，这种关系若超过了因变量与自变量的线性关系，则回归模型的稳定性受到破坏，回归系数估计不准确。需要指出的是，在多元回归模型中，多重共线性的难以避免的，只要多重共线性不太严重就行了。

判别多元线性回归方程是否存在严重的多重共线性，可分别计算每两个自变量之间的可决系数r

一、背景

公路客、货运输量的定量预测，有助于促进了公路运输经营决策的科学化和现代化。

线性回归分析法是以相关性原理为基础的，相关性原理是预测学中的基本原理之一。由于公路客、货运输量受社会经济有关因素的综合影响。所以，多元线性回归预测首先是建立公路客、货运输量与其有关影响因素之间线性关系的数学模型。然后通过对各影响因素未来值的预测推算出公路客货运输量的预测值。

二、公路客、货运输量多元线性回归预测方法的实施步骤

1.影响因素的确定

影响公路客货运输量的因素很多，主要包括以下一些因素：

(1)客运量影响因素

人口增长量、国民生产总值、国民收入工农业总产值，基本建设投资额城乡居民储蓄额铁路和水运客运量等。

(2)货运量影响因素

人口货车保有量(包括拖拉机)，国民生产总值，国民收入、工农业总产值，基本建设投资额，主要工农业产品产量、社会商品购买力、社会商品零售总额、铁路和水运货运量额。

上述影响因素仅是对一般而言，在针对具体研究对象时会有所增减。因此，在建立模型时只须列入重要的影响因素，对于非重要因素可不列入模型中。若疏漏了某些重要的影响因素，则会造成预测结果的失真。另外，影响因素太少会造成模型的敏感性太强。反之，若将非重要影响因素列入模型，则会增加计算工作量，使模型的建立复杂化并增大随机误差。

影响因素的选择是建立预测模型首要的关键环节，可采取定性和定量相结合的方法进行，影响因素的确定可以通过专家调查法，其目的是为了充分发挥专家的聪明才智和经验。

具体做法就是通过对长期从事该地区公路运输企业和运输管理部门的领导干部、专家、工作人员和行家进行调查。可通过组织召开座谈会，也可以通过采访，填写调查表等方法进行，从中选出主要影响因素为了避免影响因素确定的随意性，提高回归模型的精度和减少预测工作量，可通过查阅有关统计资料后，再对各影响因素进行相关度(或关联度)和共线性分析，从而再次筛选出最主要的影响因素，所谓相关度分析就是将各影响因素的时间序列与公路客货运量的时间序列做相关分析事先确定—个相关系数，对相关系数小的影响因素进行淘汰，关联度是灰色系统理论中反映事物发展变化过程中各因素之间的关联程度，可通过建空公路客、货运量与各影响影响因素之间关联系数矩阵，按一定的标准系数舍去关联度小的影响因素，所谓共线性是指某些影响因素之间存在着线性关系或接近于线性关系，由于公路运输经济自身的特点，影响公路客，货运输量的诸多因素之间总是存在着一定的相关性，持别是与国民经济有关的一些价值型指标。

我们研究的不是有无相关性问题而是共线性的程度，如果影响因素之间的共线性程度很高，首先会降低参数估计值的精度。其次在回归方程建立后的统计检验中导致舍去重要的影响因素或错误地接受无显著影响的因素，从而使整个预测工作失去实际意义。关于共线性程度的判定，可利用逐步分析估计法的数理统计理论编制计算机程序来实现。或者通过比较r_ij和R

y——预测的客、货运量

g——各主要影响因数

3.数据整理

对收集的历年客、货运输量和各主要影响因素的统计资料进行审核和加工整理是为了保证预测工作的质量。

资料整理主要包括下列内容：

(1)资料的补缺和推算。

(2)对不可靠资料加以核实调整，对查明原因的异常值加以修正。

(3)对时间序列中不可比的资料加以调整和规范化；对按当年价格计算的价值指标应折算成按统。

4.多元线性回归模型的参数估计

在经验线性回归模型中，是要估计的参数，可通过数理统计理论建立模型来确定。在实际预测中，可利用多元线性回归相关分析的计算机程序来实现。

5.对模型参数的估计值进行检验。

此项工作的目的在于判定估计值是否满意、可靠。一般检验工作须从以下几方面来进行。