相关系数(CorrelationcoeffICIent)

目录

1什么是相关系数2相关系数的几种定义3相关系数的性质[1]4相关系数的计算方法5相关系数的应用[1]6相关系数的缺点7参考文献

什么是相关系数

相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。

著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

相关系数的几种定义

相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。

简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母P表示，是用来度量变量间的线性关系的量。

复相关系数：又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

相关系数的性质

(1)；

(2)定理：,ρ_XY,=1的充要条件是，存在常数a，b，使得；

相关系数ρ_XY取值在-1到1之问，ρ_XY=0时，

称X,Y不相关；,ρ_XY,=1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系；,ρ_XY,<1时，X的变动引起Y的部分变动，ρ_XY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大，,ρ_XY,>0.8时称为高度相关，当，即,ρ_XY,<0.3时，称为低度相关，其他为中度相关。

(3)推论：若Y=a+bX，则有

0\\0,&b=0\\-1,&b<0\end{cases}">

证明：令E(X)=μ，D(X)=σ

则E(Y)=bμ+a，D(Y)=bσ

E(XY)=E(aX+bX)=aμ+b(σ+μ)

Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=bσ

若b≠0，则0\\-1,&b<0\end{cases}">

若b=0，则ρ_XY=0。

相关系数的计算方法

相关系数的公式如下:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：

• 当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。
• 当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。
• 当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。
• 当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。
• 一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|<0.7为显著性相关；0.7≤|r|<1为高度线性相关。

例:某财务软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关表，见表1:

表1广告费与月平均销售额相关表单位：万元

参照表1，可计算相关系数如表2：