相对熵（Relative Entropy;KL散度;Kullback–Leibler divergence; KLD; 信息散度; 信息增益）

目录

• 1 什么是相对熵
• 2 相对熵的定义
• 3 相对熵的特性
• 4 相对熵和其它量的关系
• 5 参考文献

什么是相对熵

相对熵是指两个概率分布P和Q差别的非对称性的度量。 相对熵是用来 度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本平均所需的额外的比特个数。典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布，模型分布，或P的近似分布。

相对熵的定义

对于离散随机变量，其概率分布P 和 Q的相对熵可按下式定义为。即按概率P求得的P和Q的对数差的平均值。相对熵仅当概率P和Q各自总和均为1，且对于任何i皆满足Q(i) > 0及P(i) > 0时，才有定义。式中出现0ln0的情况，其值按0处理。

对于连续随机变量，其概率分布P和Q可按积分方式定义为

，其中p和q分别表示分布P和Q的密度。更一般的，若P和Q为集合X的概率测度，且Q关于P绝对连续|绝对连续，则从P到Q的相对熵定义为，其中，假定右侧的表达形式存在，则为Q关于P的拉东-尼科迪姆定理|R–N导数。

相应的，若P关于Q绝对连续|绝对连续，则

即为P关于Q的相对熵。

相对熵的特性

相对熵的值为非负数：

　，

由吉布斯不等式可知，当且仅当P=Q时DKL(P||Q)为零。

尽管从直觉上相对熵是个度量|度量或距离函数, 但是它实际上并不是一个真正的度量或距离。因为相对熵不具有对称性：从分布P到Q的距离（或度量）通常并不等于从Q到P的距离（或度量）。

相对熵和其它量的关系

自信息和相对熵

I(m) = DKL(δIM | pi),

互信息和相对熵

I(X;Y) = DKL(P(X,Y) || P(X)P(Y)) = EXDKL(P(Y | X) || P(Y)) = EYDKL(P(X | Y) || P(X))

信息熵和相对熵

H(X) = ExI(x) = logN ? DKL(P(X) || PU(X))

条件熵和相对熵

H(X | Y) = logN ? DKL(P(X,Y) || PU(X)P(Y)) = (i)logN ? DKL(P(X,Y) || P(X)(Y)) ? DKL(P(X) || PU(X)) = H(X) ? I(X;Y) = iilogN ? EYDKLP(X | Y) || PU(X)

交叉熵和相对熵

H(p,q) = Ep[ ? logq] = H(p) + DKL(p | q)。

参考文献

1. ↑ C. BIShop (2006). Pattern Recognition and MACHine LEArning. p. 55.