相对熵-经济百科

相对熵（RelativeEntropy;KL散度;Kullback–Leiblerdivergence;KLD;信息散度;信息增益）

什么是相对熵

相对熵是指两个概率分布P和Q差别的非对称性的度量。相对熵是用来度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本平均所需的额外的比特个数。典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布，模型分布，或P的近似分布。

对于离散随机变量，其概率分布P和Q的相对熵可按下式定义为。即按概率P求得的P和Q的对数差的平均值。相对熵仅当概率P和Q各自总和均为1，且对于任何i皆满足Q(i)>0及P(i)>0时，才有定义。式中出现0ln0的情况，其值按0处理。

对于连续随机变量，其概率分布P和Q可按积分方式定义为

，其中p和q分别表示分布P和Q的密度。更一般的，若P和Q为集合X的概率测度，且Q关于P绝对连续,绝对连续，则从P到Q的相对熵定义为，其中，假定右侧的表达形式存在，则为Q关于P的拉东-尼科迪姆定理,R–N导数。

相应的，若P关于Q绝对连续,绝对连续，则

即为P关于Q的相对熵。

相对熵的值为非负数：

，

由吉布斯不等式可知，当且仅当P=Q时DKL(P,,Q)为零。

尽管从直觉上相对熵是个度量,度量或距离函数,但是它实际上并不是一个真正的度量或距离。因为相对熵不具有对称性：从分布P到Q的距离（或度量）通常并不等于从Q到P的距离（或度量）。

自信息和相对熵

I(m)=DKL(δIM,pi),

互信息和相对熵

I(X;Y)=DKL(P(X,Y),,P(X)P(Y))=EXDKL(P(Y,X),,P(Y))=EYDKL(P(X,Y),,P(X))

信息熵和相对熵

H(X)=ExI(x)=logN?DKL(P(X),,PU(X))

条件熵和相对熵

H(X,Y)=logN?DKL(P(X,Y),,PU(X)P(Y))=(i)logN?DKL(P(X,Y),,P(X)(Y))?DKL(P(X),,PU(X))=H(X)?I(X;Y)=iilogN?EYDKLP(X,Y),,PU(X)

交叉熵和相对熵

H(p,q)=Ep[?logq]=H(p)+DKL(p,q)。