目录

• 1 什么是积分第一中值定理
• 2 积分第一中值定理的证明
  • 2.1 中值点在开区间内存在的证明

什么是积分第一中值定理

设为一连续函数， 为一正的可积函数，那么存在一点使得

。

事实上，可以证明，上述的中值点ξ必能在开区间(a,b)内取得，见下方中值点在开区间内存在的证明。

积分第一中值定理的证明

因为是闭区间上的连续函数， 取得最大值和最小值 。于是

。

对不等式求积分，我们有

。

若 ，则 。 可取上任一点。

设 ，那么

。

因为 是连续函数，则必存在一点 ，使得

。

中值点在开区间内存在的证明

已知f(x)在[a,b]上连续，设。

知F(x)在[a,b]上连续，在[a,b]内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：

，其中

即

所以

。