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1.什么是积分第一中值定理2.积分第一中值定理的证明2.1.中值点在开区间内存在的证明
什么是积分第一中值定理
设为一连续函数,为一正的可积函数,那么存在一点使得
。
事实上,可以证明,上述的中值点ξ必能在开区间(a,b)内取得,见下方中值点在开区间内存在的证明。
积分第一中值定理的证明
因为是闭区间上的连续函数,取得最大值和最小值。于是
。
对不等式求积分,我们有
。
若,则。可取上任一点。
设,那么
。
因为是连续函数,则必存在一点,使得
。
中值点在开区间内存在的证明
已知f(x)在[a,b]上连续,设。
知F(x)在[a,b]上连续,在[a,b]内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:
,其中
即
所以
。
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