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- 1.什么是估计量2.估计量的优良性准则3.参考文献
什么是估计量
估计量是指一个公式或方法,它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。在一项应用中,依据估计量算出的一个具体的数值,称为估计值。
估计量的优良性准则
1．无偏性
估计量是一个随机变量，对一次具体的观察或试验的结果，估计值可能较真实的参数值有一定偏离，但一个好的估计量不应总是偏小或偏大，在多次试验中所得估计量的平均值应与参数的真值相吻合，这正是无偏性的要求。
【定义1】设为总体的未知参数，为有
故，有
若n很大时，则很接近1，表明 不是 存在，是k阶总体矩
即有
【例2】 设总体X服从参数为
其中参数和，所以是
故知无偏估计量．值得注意，若 是 不一定是总体标准差 ，所以，于是 ，这表明尽管标准差 样本统计量作为总体参数的估计量，其无偏性是重要的，但同一参数的无偏估计不是唯一的，还应该从中选取最好的．例如，从总体X中抽取样本是总体均值 , 其数学期望也是,就是无偏估计量的方差越小越好．
【定义2】 设与均为未知参数 (2)
则称 比 有效
【定理2】总体均值最为有效。
证 ，中 其方差
要求这个方差的最小值，相当于求函数，在条件下的最小值．这是一个条件极值问题，用拉格朗日乘数法，令
由
得
即，则。
这是唯一驻点，应是极小值点，亦是最小值点，即当时，达到最小，即
为方差最小值．这表明在总体均值最为有效．
【例4】(续例2)在例2的条件下，试证当时，比无偏估计量nZ有效．
证 因为，所以．再由Z的密度函数可得，故有。当时 ，故比是具有最小方差的无偏估计量，则称为的方差的下界
当时，就是离散型随机变量的概率函数．
【例5】 设总体X服从参数为泊松分布，，并证明 是参数
令
得
由于，故是参数
所以
因此，，即是参数样本容量越大，样本所含的总体分布的信息应该越多，我们希望随着样本容量的增大，估计量的值能够稳定于待估参数的真值，估计量的这种性质称为一致性．
【定义3】设为参数及任意(3)
即依概率收敛于为 是总体k阶原点矩的一致估计．
证由于, 也相互独立与大数定律，对于任意
此表明(这里样本方差
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