哥德尔不完备定理的相关讨论和推论

不完备性的结论影响了数学哲学以及符号逻辑（使用形式符号描述原理）中的一些观点。我们可以将第一定理解释为“我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理，而不能证明任何谬误”。以下对第二定理的另一种说法甚至更令人不安：

如果一个（强度足以证明基本算术公理的）公理系统可以用来证明它自身的兼容性，那么它是不兼容的。

于是，为了确立系统S的兼容性，就要构建另一个系统T，但是T中的证明并不是完全可信的，除非不使用S就能确立T的兼容性。举个例子，自然数上的皮亚诺公理的兼容性可以在集合论中证明，但不能单独在自然数理论范围内证明。这对大卫?希尔伯特的著名的未解决的23个数学问题中的第二个给出了一个否定回答。

理论上，哥德尔理论仍留下了一线希望：也许可以给出一个算法判定一个给定的命题是否是不确定的，让数学家可以忽略掉这些不确定的命题。然而，对可判定性问题的否定回答表明不存在这样的算法。

要注意哥德尔理论只适用于较强的公理系统。“较强”意味着该理论包含了足够的算术以便承载对第一不完备定理证明过程的编码。基本上，这就要求系统能将一些基本操作例如加法和乘法形式化，例如在鲁宾逊算术Q中那样。有一些更弱的公理系统是兼容而且完备的，例如PResburger算术，它包括所有的一阶逻辑的真命题和关于加法的真命题。

公理系统可能含有无穷条公理（例如皮亚诺算术就是这样），但要哥德尔定理生效，必须存在检验证明是否正确的有效算法。例如，可以将关于自然数的所有在标准模型中为真的一阶语句组成一个集合。这个公理系统是完备的；哥德尔定理之所以无效，是因为不存在决定任何一条语句是否公理的有效算法。从另一方面说，这个算法的不存在正是哥德尔定理的直接结果。

另一个哥德尔定理不适用的特殊情况是：将关于自然数的所有语句首先按长度然后按字典顺序排序，并从皮亚诺公理集开始，一个一个遍历列表，如果发现一条语句既不能证明又不能否证，就将它作为公理加入。这样得到的系统是完备的，兼容的，并且是足够强大的，但不是递归可枚举集的。

哥德尔本人只证明了以上定理的一个较弱版本；以上定理的第一个证明是罗梭（Russel）于1936年给出的。

基本上，第一定理的证明是通过在形式公理系统中构造如下命题

p = “此命题是不可证明的”

来完成的。这样，它可以看成是说谎者悖论的一个现代变种。

如果公理系统是兼容的，哥德尔证明了p（及其否定）不能在系统内证明。因此p是真命题（p声称它不可证明，而它确实不能），尽管其证明不能在系统内形式化。请注意将p作为公理加入系统并不能解决问题：扩大了的系统中会有另一个哥德尔语句出现。

罗杰?彭罗斯声称“可被机械地证明的”和“对人类来说看起来是真的”的这一区别，表明了人类智能在本质上不同于机械过程。这一观点未被普遍接受，因为正如Marvin Minsky

所指出的，人类智能有犯错误和理解不相容和谬误句子的能力。但Marvin Minsky透露说库尔特?哥德尔私下告诉他，他相信人类有一种到达真理的直觉方法，但因为跟计算机式的方法不同，人类可以知道为真的事情并不受他的定理限制。

对以上认为该定理揭示了人类具有超出形式逻辑之能力的这种观点，也可以作如下评论：我们其实不知道p是真是假，因为我们并不（也无法）知道系统是否是兼容的。因此实际上我们并不知道系统之外的任何真理。我们所确知的只有这样一个命题：

要么p在系统内部无法证明，要么该系统是不相容的。

这样的命题之前已经在系统内部被证明。实际上，这样的证明可以如下给出。