辐角原理(PRincipleofargument)

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什么是辐角原理

在复分析中，辐角原理是指如果f(z)是在某个围道C上以及内部一个全纯函数，且f在C上没有零点或极点，则下列公式成立

这里N与P分别表示f(z)在围道C内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道C是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。

更一般地，假设C是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集Ω中可缩为一点。对每个z∈Ω，令n(C,z)是C绕点z的卷绕数。则

这里第一个求和对f所有零点a进行并计重数，第二个求和在f的所有极点b上进行。

辐角原理的证明

设z_N是f的一个零点。我们可将f写成f(z)=(z?z_N)

以及

因g(z_N)≠0，故g′(z)/g(z)在

z_N没有奇点，从而在z_N解析，这意味着

f′(z)/f(z)在z_N的留数是k。

设z_P是f的一个极点。我们可写成f(z)=(z?z_P)

以及

如上。故h′(z)/h(z)在z_P没有奇点，因为

h(z_P)≠0从而在z_P解析。我们发现

f′(z)/f(z)在z_P的留数是?m。

将它们放在一起，f的每个k重零点z_N产生

f′(z)/f(z)的一个留数为k的单极点，而f的每个m阶极点z_P产生f′(z)/f(z)的一个留数为?m的单极点（这里一个单极点指一阶极点）。另外，可以证明f′(z)/f(z)没有其它极点，从而没有其它留数。

由留数定理我们有关于C的积分是2πi与这些留数之和的乘积。总之，每个零点z_N的k之和是计重数的零点个数，对极点类似，故我们得到了欲证之结论。

辐角原理的历史

按照弗兰克?史密西斯一书（CauchyanDThECReationoFCOmplexFunctionTheory,CaMBridgeUniversityPress,1997）的说法，在奥古斯丁?路易?柯西从法国到都灵（当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国的首都）的自我放逐途中，柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理（见177页）。但是根据此书，只提到了零点，没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表，故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中，零点与极点都讨论了。定理1只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理2说“一个单复变量函数Z的对数计量（compteurslogarithmiques，相当于现代教材中的对数留数）等于Z与1/Z根的个数之差（相当于现代教材中的函数Z的零点与极点）。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。

辐角原理的推论

假设C是一个以原点为中心的闭围道，通过考虑f(z)关于原点的卷绕数可得出一些推论。我们看到f′(z)/f(z)在C上的积分是logf(z)值的变化。因为C是闭的我们只需考虑iargf(z)在C上的变化，它将是2πi的某个整数倍因为C是闭的（但可能绕原点卷多圈）。但从辐角原理

约去因子2πi，我们得到

这里I(C,0)表示f在C上关于0点卷绕数。

一个推论是更广泛的定理，在同样的假设下，如果g是Ω中一个解析函数，则

例如，如果f是以一个简单围道C内部z₁,...,z_p为零点的多项式，以及g(z)=z

是f的根的幂和对称函数。

另一个推论是如果我们计算复积分：

对一个合适的g与f，我们有尼尔斯?阿贝尔公式：

这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。

辐角原理的应用

反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理，将其作为奈奎斯特稳定性判据的理论基础。哈里?奈奎斯特1932年原理的论文（H.Nyquist,"Regenerationtheory",BellSystemTechNICalJournal,vol.11,pp.126-147,1932）用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中，奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来，LeroyMaCCOll(FundamentaltheoryofservoMEChanISMs,1945)与HendrikBode(NetworKAnalysisaNDFeedbackamplifierdesign,1945)都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl(BellLaboratories)将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在，辐角原理可在复分析或控制工程学的现代教材中都可以找到。