詹森不等式（Jensen's inequality），也译为延森不等式、琴生不等式
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詹森不等式简介
詹森不等式以丹麦数学家约翰·詹森（Johan Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。
Jensen's inequalitygeneralizes the statement that a secant line of a convex function lies above the graph.
詹森不等式的一般形式
詹森不等式可以用测度论或概率论的语言给出。这两种方式都表明同一个很一般的结果。
测度论的版本
假设μ是集合Ω的正测度，使得μ(Ω) = 1。若g是勒贝格可积的实值函数，而是在g的值域上定义的凸函数，则
。
概率论的版本
以概率论的名词，μ是个概率测度。函数g换作实值随机变量X（就纯数学而言，两者没有分别）。在Ω空间上，任何函数相对于概率测度μ的积分就成了期望值。这不等式就说，若是任一凸函数，则
。
詹森不等式的特例
机率密度函数的形式
假设Ω是实数轴上的可测子集，而f(x)是非负函数，使得
。
以概率论的语言，f是个机率密度函数。
詹森不等式变成以下关于凸积分的命题：
若g是任一实值可测函数，φ在g的值域中是凸函数，则
。
若g(x) = x，则这形式的不等式简化成一个常用特例：
。
有限形式
若Ω是有限集合，而μ是Ω上的正规计数测度，则不等式的一般形式可以简单地用和式表示：
，
其中。
若φ是凹函数，只需把不等式符号调转。
假设是正实数，g(x) = x，λi = 1 / n及。上述和式便成了
，
。
这不等式也有无限项的离散形式。
统计物理学
统计物理学中，若凸函数是指数函数，詹森不等式特别重要：
，
其中方括号表示期望值，是以随机变量X的某个概率分布算出。这个情形的证明很简单（参见Chandler, Sec. 5.5）：在以下等式的第三个指数函数
套用不等式
，
即得出所求的不等式。
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