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什么是行列式

行列式是数学中的一个函数，将一个的矩阵A映射到一个纯量，记作det(A)或,A,。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维度空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。

行列式的竖直线记法

矩阵A的行列式有时也记作,A,。绝对值和范数,矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵：

，

行列式det(A)也写作,A,，或明确的写作：

，

即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代。

行列式的历史

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德?莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。

行列式的早期研究

关孝和在《解伏题之法》中首次运用行列式的概念。1545年，卡当在著作《大术》中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”。这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。

1683年，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了、乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。

1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：代表第i行第j列。莱布尼茨对行列式的研究成果中已经包括了行列式行列式的展开和克莱姆法则，但这些结果在当时并不为人所知。

任意阶数的行列式

1730年，苏格兰数学家科林?麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并给出了四元一次方程组的一般解的正确形式，尽管这本书直到麦克劳林逝世两年后（1748年）才得以出版。

1750年，瑞士的加布里尔?克拉默首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。其中行列式的计算十分复杂，因为是定义在置换的奇偶性上的。

此后，关于行列式的研究逐渐增多。1764年，法国的艾蒂安?贝祖的论文中关于行列式的计算方法的研究简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法同是法国人的亚历山德?西奥菲勒?范德蒙德则在1771年的论着中第一个将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。这是数学家们开始对行列式本身进行研究的开端。

1772年，皮埃尔-西蒙?拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，发展出子式的概念。一年后，约瑟夫?拉格朗日发现了的行列式与空间中体积的联系。他发现：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。

行列式在大部分欧洲语言中被称为“detERMinant”（某些语言中词尾加e或o，或变成s），这个称呼最早是由卡尔?弗里德里希?高斯在他的《算术研究》中引入的。这个称呼的词根有“决定”意思，因为在高斯的使用中，行列式能够决定二次曲线的性质。在同一本着作中，高斯还叙述了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，也就是现在的高斯消元法。

行列式的现代概念

进入十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善。奥古斯丁?路易?柯西在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是阿瑟?凯莱在1841年率先使用的）柯西还证明了行列式行列式的性质（实际上是矩阵乘法），这个定理曾经在雅克?菲利普?玛利?比内的书中出现过，但没有证明。

十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯?约瑟夫?西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。

与此同时，行列式也被应用于各种领域中。高斯在二次曲线和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划归为标准型时的判别依据。之后，卡尔?魏尔斯特拉斯和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了λ矩阵的行列式以及初等因子。行列式被用于多重函数的积分大约始于十九世纪三十年代。1832年至1833年间卡尔?雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁?查尔?卡塔兰发现了所谓的雅可比行列式。1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系

现代的行列式概念最早在19世纪末传入中国。1899年，华蘅芳和英国传教士傅兰雅合译了《算式解法》十四卷，其中首次将行列式翻译成“定准数”。1909年顾澄在著作中称之为“定列式”。1935年8月，中国数学会审查各种术语译名，9月教育部公布的《数学名词》中正式将译名定为“行列式”。其后“行列式”作为译名沿用至今。

行列式的直观定义

一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下：

其中，S_n是集合{1,2,...,n}上置换的全体，即集合{1,2,...,n}到自身上的一一映射（双射）的全体；

表示对S全部元素的求和，即对于每个σ∈S，在加法算式中出现一次；对每一个满足1≤i,j≤n的数对(i,j)，a_i,j是矩阵A的第i行第j列的元素。

σ表示置换σ∈S_n的置换的奇偶性，具体地说，满足1≤i<j≤n但σ(i)>σ(j)的有序数对(i,j)称为σ的一个逆序。

如果σ的逆序共有偶数个，则sgn(σ)=1，如果共有奇数个，则sgn(σ)=?1。

举例来说，对于3元置换σ=(2,3,1)（即是说σ(1)=2，σ(2)=3，σ(3)=1而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此sgn(σ)=1，从而3阶行列式中项a_1,2a_2,3a_3,1的符号是正的。但对于三元置换σ=(3,2,1)（即是说σ=3，σ=2，σ=1）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此sgn(σ)=?1，从而3阶行列式中项a_1,3a_2,2a_3,1的符号是负号。

注意到对于任意正整数n，S_n共拥有n个元素，因此上式中共有n个求和项，即这是一个有限多次的求和。

对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图1中红线和蓝线）。

2阶矩阵的行列式：

3阶矩阵的行列式：但对于阶数n≥4的方阵A，这样的主对角线和副对角线分别只有n条，由于A的主、副对角线总条数=2n<(n?1)n<n!=S_n的元素个数

因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外，还有其他更多的项。例如4阶行列式中，项a_1,2a_2,3a_3,1a_4,4就不是任何对角线的元素乘积。不过，和2、3阶行列式情况相同的是，n阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取n个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。

另外，n×n矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个n元向量，这时矩阵的行列式也被称为这n个n元向量组成的向量组的行列式

行列式的几何意义：二维和三维欧氏空间中的例子

行列式的一个自然的源起是n维平行体的体积。行列式的定义和n维平行体的体积有着本质上的关联

二维向量组的行列式

行列式是向量形成的平行四边形的面积

在一个二维欧几里得平面上，两个向量X=(a,c)和X'=(b,d)的行列式是：

比如说，两个向量X=(2,1)和X=(3,4)的行列式是：

经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是向量X和X'形成的平行四边形的有向面积，并有如下性质：

行列式为零当且仅当两个向量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线。

如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当以原点为不动点将X逆时针“转到X'处时，扫过的地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。如图2中，X和X'所构成的平行四边形的面积就是正的。

行列式是一个双线性映射。也就是说，det(λX+μY,X')=λdet(X,X')+μdet(Y,X')，

并且

det(X,λX'+μY')=λdet(X,X')+μdet(X,Y')。

其几何意义是：以同一个向量v作为一条边的两个平行四边形的面积之和，等于它们各自另一边的向量u和u'加起来后的向量：u+u'和v所构成的平行四边形的面积，如图3中所示。

三维向量组的行列式

在三维的有向欧几里得空间中，三个三维向量的行列式是：。比如说，三个向量(2,1,5)、(6,0,8)和(3,2,4)的行列式是：当系数是实数时，行列式表示X、X′和X″三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的三重积。同样的，可以观察到如下性质：

行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。

三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则来约定。比如图4中(u,v,w)所形成的平行六面体的体积是正的，而(u,w,v)所形成的平行六面体的体积是负的。这个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中向量的坐标都是在取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规则来设定的。如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积。

这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有det(aX+bY,X',X'')=adet(X,X',X'')+bdet(Y,X',X'')，对第二、第三个向量也是如此。其几何意义和二维时基本相同，是指当生成两个平行六面体的每组三个向量中如果有两个是重合的，比如分别是：(u,v,w)和(u',v,w)，那么它们的体积之总和等于将u和u'加起来后的向量u+u'和v,w所形成的平行六面体的体积，如右图所示。

行列式基底的选择

在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基（即笛卡儿坐标系）下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。这并不是说平行六面体的体积不唯一。恰恰相反，这说明体积的概念依赖于衡量空间的尺度，也就是基底的取法。用基底的变换可以看作线性映射对基底的作用，而不同基底下的行列式代表了基变换对“体积”的影响。可以证明，对于所有标准正交基，向量组的行列式的值在绝对值意义上是一样的。也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基之下，平行六面体的体积的绝对值是唯一的。

行列式的线性变换

设E是一个一般的n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量(x,y,z)被映射到向量(x',y',z')：

其中a、b、c是系数。如图5，正方体（可以看作原来的一组基形成的）经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形（没有体积）。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来（为零或不为零）。

更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的（有向）体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。

行列式与空间定向

以上二维和三维行列式的例子中，行列式被解释为向量形成的图形的面积或体积。面积或体积的定义是恒正的，而行列式是有正有负的，因此需要引入有向面积和有向体积的概念。负的面积或体积在物理学中可能难以理解，但在数学中，它们和角的概念类似，都是对空间镜面对称特性的一种刻画。如果行列式表示的是线性变换对体积的影响，那么行列式的正负就表示了空间的定向。

如图6中，左边的黄色骰子（可以看成有单位的有向体积的物体）在经过了线性变换后变成中间绿色的平行六边形，这时行列式为正，两者是同定向的，可以通过旋转和拉伸从一个变成另一个。而骰子和右边的红色平行六边形之间也是通过线性变换得到的，但是无论怎样旋转和拉伸，都无法使一个变成另一个，一定要通过镜面反射才行。这时两者之间的线性变换的行列式是负的。可以看出，线性变换可以分为两类，一类对应着正的行列式，保持空间的定向不变，另一类对应负的行列式，颠倒空间的定向。

一般域上的行列式：严格的定义

由二维及三维的例子，可以看到一般的行列式应该具有怎样的性质。在n维欧几里得空间中，作为“平行多面体”的“体积”的概念的推广，行列式继承了“体积”函数的性质。首先，行列式需要是线性的，这可以由面积的性质类比得到。这里的线性是对于每一个向量来说的，因为当一个向量变为原来的a倍时，“平行多面体”的“体积”也变为原来的a倍。其次，当一个向量在其它向量组成的“超平面”上时，n维“平行多面体”的“体积”是零（可以想象三维空间的例子）。也就是说，当向量线性相关时，行列式为零。在一般系数域上的线性空间中，行列式也正是由这样的特性所刻划的。

行列式交替多线性形式

行列式是系数域为K的有限维线性空间E上射到K的多线性形式n-线性形式。

具体来说，设E是一个系数在域K上的有限维线性空间，维数为n。一个E上的交替n-线性形式是指满足以下性质的函数：

n重线性：

交替性：或者说，当a_i=a_j的时候所有E上的交替n-线性形式的集合记作A_n（E）。

定理：

A_n(E)的维度是1。也就是说，设是E的一组基，那么，所有的交替n-线性形式都可以写成

其中是在基B下的展开。

证明：

对任一个n-线性形式，考虑将D依照多线性性质展开，

这时，由交替性，当且仅当是的一个排列，所以有

这里，。

向量组的行列式

设是E的一组基，根据上面的定理和线性形式的性质，可以定义B下的行列式。

定义：

E上的一组基的行列式是唯一一个满足：

det_B(e₁,...,e_n)=1的多线性形式n-线性形式。

其中的唯一性是因为如果有两个交替n-线性形式满足条件，则它们的差在一组基上为0，从而恒等于0。于是，一组基上的一个向量组的行列式就是：

定义：

确定了E上的一组基B后，向量组在B下的行列式是：

其中是在B下的展开。

可以见到这个定义与之前直观的定义是吻合的，它有时也被称作莱布尼兹公式。

基变更公式

设B与B′是向量空间中的两组基，则将上面定理中的f改为det_B就得到向量组在两组基下的行列式之间的关系：

，

矩阵的行列式<