协方差（Covariance,COV）

目录

• 1 什么是协方差
• 2 协方差属性
• 3 协方差矩阵

什么是协方差

在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

期望值分别为E(X) = μ 与 E(Y) = ν 的两个实数随机变量X与Y之间的协方差定义为：

其中，E是期望值。它也可以表示为：

直观上来看，协方差表示的是两个变量总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。

如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。

如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。

如果X与Y是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0。这是因为

但是，反过来并不成立。即如果X与Y的协方差为0，二者并不一定是统计独立的。

协方差cov(X,Y)的度量单位是X的协方差乘以Y的协方差。而取决于协方差的相关性，是一个衡量线性独立的无量纲的数。

协方差为0的两个随机变量称为是不相关的。

协方差属性

如果X与Y是实数随机变量，a与b不是随机变量，那么根据协方差的定义可以得到：

对于随机变量序列X1, ..., Xn 与 Y1, ..., Ym，有

对于随机变量序列 X1, ..., Xn，有

协方差矩阵

分别为m与n个标量元素的列向量随机变量X与Y，二者对应的期望值分别为μ与ν，这两个变量之间的协方差定义为m×n矩阵。

两个向量变量的协方差cov(X,Y)与cov(Y,X)互为转置矩阵。

协方差有时也称为是两个随机变量之间“线性独立性”的度量，但是这个含义与线性代数中严格的线性独立性线性独立不同。