马尔可夫过程（MarkovPRocess）

目录

1什么是马尔可夫过程2马尔可夫过程的概率分布3马尔可夫过程的应用举例

什么是马尔可夫过程

1、马尔可夫性(无后效性)

过程或（系统）在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t>t0所处状态的条件分布，与过程在时刻t0之前处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。

即：已知过程“现在”的情况，过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。

2、马尔可夫过程的定义

具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。

用分布函数表述马尔可夫过程：

设I：随机过程{X(t),t\inT}的状态空间，如果对时间t的任意n个数值:

（注：X(tn)在条件X(ti)=xi下的条件分布函数）

(注：X(tn))在条件X(tn?1)=xn?1下的条件分布函数）

或写成：

这时称过程具马尔可夫性或无后性，并称此过程为马尔可夫过程。

3、马尔可夫链的定义

时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链,简记为。

马尔可夫过程的概率分布

研究时间和状态都是离散的随机序列:,状态空间为

1、用分布律描述马尔可夫性

对任意的正整数n,r和，有：

PXm+n=aj,Xm=ai，其中。

2、转移概率

称条件概率Pij(m,m+n)=PXm+n=aj,Xm=ai为马氏链在时刻m处于状态ai条件下，在时刻m+n转移到状态aj的转移概率。

说明：转移概率具胡特点：

。

由转移概率组成的矩阵称为马氏链的转移概率矩阵。它是随机矩阵。

3、平稳性

当转移概率Pij(m,m+n)只与i,j及时间间距n有关时，称转移概率具有平稳性。同时也称些链是齐次的或时齐的。

此时，记Pij(m,m+n)=Pij(n),Pij(n)=PXm+n=aj,Xm=ai(注：称为马氏链的n步转移概率)

P(n)=(Pij(n))为n步转移概率矩阵。

特别的,当k=1时,

一步转移概率：Pij=Pij(1)=PXm+1=aj,Xm=ai。

一步转移概率矩阵：P(1)

马尔可夫过程的应用举例

设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，任一天晴或雨是互为逆事件。以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，Xn表示第n天状态（0或1）。试定出马氏链的一步转移概率矩阵。又已知5月1日为晴天，问5月3日为晴天，5月5日为雨天的概率各等于多少？

解：由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转晴天的概率为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为：

故5月1日为晴天，5月3日为晴天的概率为：

又由于：

故5月1日为晴天，5月5日为雨天的概率为：P01(4)=0.5995