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1.什么是柯西中值定理2.柯西中值定理的证明

什么是柯西中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。

如果函数f(x)及g(x)满足

在闭区间[a,b]上连续；

在开区间(a,b)内可导，

对任意，

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)使等式成立。

其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

柯西中值定理的证明

首先，如果g(a)=g(b)，由罗尔定理，存在一点使得g'(x0)=0，与条件3矛盾。所以。

令。那么

h在[a,b]上连续，

h在(a,b)上可导，

。

由罗尔定理，存在一点使得h'(ξ)=0。即。命题得证。