卡方分布(Chi-squarEDIstribution)

目录

1.什么是卡方分布2.卡方分布的数学定义3.卡方分布的特征4.卡方变数与Gamma变数的关系

什么是卡方分布

卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

卡方分布的数学定义

若k个随机变量Z1、……、Zk相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X

被称为服从自由度为k的卡方分布，记作

卡方分布的特征

卡方分布的概率密度函数为：

其中x≥0,当x≤0时fk(x)=0。这里Γ代表Gamma函数。

卡方分布的累积分布函数为：

其中γ(k,z)为不完全Gamma函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OPEnOffice.orgCalc和MicrosoftExcel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

其中ψ(x)是Digammafunction。

卡方变数与Gamma变数的关系

当Gamma变数频率(λ)为1/2时，α的2倍为卡方变数之自由度(Degreeoffreedom)

即:

卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度

卡方分布