棣莫弗公式(DeMoivreformula)

目录

1什么是棣莫弗公式2棣莫弗公式的证明
2.1欧拉公式2.2数学归纳法
2.2.1正整数情形2.2.2负整数情形

3用棣莫弗公式求根

什么是棣莫弗公式

棣莫弗公式是指法国数学家棣莫弗（AbrahamdeMoivre，1667年－1754年）于1707年创立的公式。

当一个复数z以极坐标形式表达，即z=r(cosθ+ISInθ)时，其n次方(r(cosθ+ISInθ))=r(cos(nθ)+isin(nθ))，其中n属于任何整数。

棣莫弗公式的证明

欧拉公式

最简单的方法是应用欧拉公式。

数学归纳法

正整数情形

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

设命题为

当n=1

左式右式

因此P(1)成立。

假设P(k)成立，即(cosθ+isinθ)=cos(kθ)+isin(kθ)

当n=k+1

因此，P(k+1)也成立。

根据数学归纳法，，P(n)成立。

负整数情形

只需运用恒等式：

即可证明。

用棣莫弗公式求根

此定理可用来求单位复数的n次方根。设,z,=1，表为

z=cosθ+isinθ

若w=z，则w也可以表成：

w=cosφ+isinφ

按照棣莫弗公式：

w=(cosφ+isinφ)=cosnφ+isinnφ=cosθ+isinθ=z

于是得到

nφ=θ+2kπ（其中）

也就是：

当k取，我们得到n个不同的根。